第一个夏天我没太多想法，整个学年都很忙。第二个夏天，我继续了我在股票市场的研究。在六月的一天，阳光充足，天气炎热，我坐在后院的树荫下读书。在第一个小时，我偶然发现一本悉尼·弗里德创办的期刊，叫作RMHWarrantsandLowPriceStockSurvey。

我估计这个期刊还在，现在是他的儿子在经营。我意识到权证的定价可以用数学公式来分析和预测。

如果你主要研究权证，那么用于研究股票价格的大量变量就差不多可以忽略。我把自己认为会影响权证价格的因素写成了一个列表，包括标的股票的价格、执行价格、波动率、到期时间以及利率水平。这些也是现在大家都一致认可的决定期权价格的因素。我开始思考决定期权价格的公式。那年夏天，我搬到了加利福尼亚大学欧文分校。在学校的第一天，我告诉信息与计算机科学学院的院长我在努力研究权证定价模型，他告诉我学校有另外一个人也在做同样的事情。这个人就是香农·卡萨夫，他已经写了一篇包含决定权证价格理论模型的论文。这是一个不好不坏的模型，但总比没有好。卡萨夫已经交易了一段时间权证，并且通过对冲头寸获得了稳定的收入。我们开始一起工作、共同奋斗，最终合作撰写了BeattheMarket一书。

BeattheMarket一书里有期权定价模型吗？

书里有一个卡萨夫以实证为基础的公式。

这个公式跟你们最终得到的公式有多大区别？

完全不同。

在这些信息还没有公开之前，你们为什么要写书告诉人们如何给权证定价以及发现错误定价的交易机会呢？

我们实际上在书里回答了这个问题。我们认为其他人也会掌握类似的信息，只是时间的问题。如果我们首先将这个信息公布，潜在的投资者读了这本书以后，会来找我们，这样我们就能管理资金。

你认为这个决定正确吗？难道你不认为你和卡萨夫如果自己利用这个方法交易权证而不将其公布会更好？

我不这么认为。因为从历史上看，好的想法倾向于近乎同一时间在几个地方产生而不仅是一个地方。

像牛顿与莱布尼兹？

没错，或者像达尔文和华莱士。

你们什么时候开始管理资金？

当我在加利福尼亚大学欧文分校时，一切就自然而然地发生了。卡萨夫和我都在管理自己的账户。名声在外后，人们开始邀请我们管理他们的资金。这些人的资金每年的收益率超过20%。他们把这告诉了他们的朋友。不久，我就有了十几个账户，而校园里开始有很多为此而开心的人。

你那个时候用的策略是什么？

BeattheMarket的主题是，一般上市不到两年的权证的交易价格都太高了。我们通常的操作是做空权证，并买入股票头寸来对冲。

Delta对冲吗？

我们开始时用静止的对冲策略，随后我们决定用自己认为更好的动态delta来对冲。[8]

你跟卡萨夫一起管理资金吗？

没有，因为我们对于策略如何执行的意见不同。卡萨夫认为他能预测股票价格的方向，有时会考察股票的基本面，然而我很怕做这些，因为我不相信我有任何的预测能力，我认为我们应该一直保持delta中性对冲。[9]所以我们用自己的方式来各自交易。当我管理了一段自己的账户时，他和兄弟们开始管理基金业务。

你什么时候开发了自己的期权定价模型？

1967年，我从保罗·库特纳的《股票市场的随机性质》中得到了一些关于如何定价权证的想法。我认为如果简化地假设所有投资都以无风险利率增长，就能得到一个公式。由于delta中性对冲的买卖权证会得到一个风险很小的投资组合，那么看起来我从无风险假设中得到的公式是可信的。结果就是得到一个跟未来的布莱克–斯科尔斯公式等价的一个公式。1967年我开始使用它。

你用自己的公式（也就是未来的布莱克-斯科尔斯公式）来识别过定价过高的权证，同时用delta对冲这些头寸吗？

每个被对冲的头寸需要不同的保证金，而我没有足够的资金来拥有一个多样化权证组合同时将它对冲。我用公式识别出被高估最多的权证。我发现权证的市价是由公式所得的合理价格的2～3倍。所以我只是裸空权证。

没有对冲的做空权证看起来与你最小化风险的理念完全相反。如果市场急速反弹怎么办？

这种情况确实发生过。在1967～1968年有一个大牛市。1967年的时候，小盘股上涨了84%，在1968年上涨了36%。持有净空头的日子很糟糕。然而，这个公式已经很准确了。权证定价过高以至于我在裸空权证后仍能保本。这个公式在最糟糕的环境下证明了自己。据我所知，在1967～1968年我做空的权证头寸是布莱克–斯科尔斯公式在市场中的第一次实际应用。

布莱克和斯科尔斯什么时候公开了他们的公式？

我相信他们是在1969年发现的，大概是在1972～1973年公开的。

你想过公开自己的公式吗？

期权定价公式让我在市场中的胜算很大，所以我只是欣然地用它来交易。到了1969年，我建立了第一个对冲基金，普林斯顿-纽波特合伙公司。我认为如果我公开了这个公式，我会失去能够帮投资者赚钱的优势，所以我认为最好就是保持安静，仅仅是使用它。这就像拥有一个算牌系统，却不将它公开。在布莱克和斯科尔斯公开了公式以后，就太迟了。不过我没什么可后悔的。

我相信可转债的套利策略可能是普林斯顿–纽波特合伙公司使用的核心策略。你现在可以谈谈你是否对这个策略有一定的创新？

可转债就是一种公司债券，它的持有者可以将其在确定价格下转换成公司固定份额的股票。实际上，可转债就是一个公司债和一个看涨期权的组合。因为内嵌的期权是有价值的，所以可转债所付的利息要比一般公司债的利息低。可转债套利基金通常是买可转债，同时做空有效数量的股票对冲，来抵消由隐含的内嵌式看涨期权所带来的多头暴露（这就是delta对冲）。起初，可转债内嵌的选择权是被低估的，可转债套利基金通过买入低估的可转债，同时做空股票对冲市场风险，来赚取可观的利润。保持核心策略不变，市场积极地寻找错误定价的机会使权证回归合理价格。这使可转债定价模型的精确更为重要。

在简单的可转债定价模型里，可转债就像一个公司债券附加一个权证。公司债券被设定提供了可转换价格的下限，所以如果有一个5%的B级可转债，那理所当然它的价格永远不应该低于不可转换的5%B级债券的价格。我们知道，如果股票价格下跌得足够多，那么它的评级债券也将下降，最后设定的价格下限也不再是下限了。我们可以构建包含这个特征的模型，来得到一个更加精确的可转债定价模型。我们的模型也分析了与标的股票相关的所有其他产品，包括可转债、期权、权证和可转换优先股来找到最优的对冲组合。

在普林斯顿-纽波特合伙公司关闭以后，我打电话给费希尔·布莱克，因为我认为我们有比别人更好的可转债模型，想要看看能不能把它卖给高盛。费希尔·布莱克从远方飞过来，花了三天时间来审阅我的模型。他承认，这个模型看起来不错，但问题是我们模型的代码是为我们使用的迪吉多计算机量身定做的，这意味着要在他们的设备上使用，他们不得不重新编程，所以他们最后没有买。后面的两三年，费希尔·布莱克建立了自己的可转债模型。我不知道他是否参考了我们的想法，但这没什么关系。

在你交易成功的过程中，决定最优的赌注大小有多重要？你如何决定用凯利法则作为确定赌注大小的方法？原因是什么？

凯利法则主要是确定下注占资金的比例，来最大化资本的复合增长率。即使有优势，但当超出了某个临界值，更大的赌注会由于波动率的不利影响而导致更低的回报率。凯利法则确定了这个临界值。长期来看，凯利法则里这个比例的公式应该是：

F=PW-（PL/W）

式中，F为下赌注的资金占总资金的比例；W为赢的资金除以损失的资金；PW为赢的概率；PL为赔的概率。

当赢的资金和损失的资金相等时，这个公式简化成：F=PW-PL

比如，如果一个交易员在赔钱的交易中共损失了1000美元，而在赢钱的交易中共赚了1000美元，交易中60%都是赢钱的，那么根据凯利法则最优的交易比例是20%（0.60-0.40=0.20）。

另一个例子，如果一个交易员在赢钱的交易中共赚了2000美元，在赔钱的交易中共损失了1000美元，输赢的概率相等都是50%，那么根据凯利法则最优的交易比例是25%[0.50-（0.50/2）=0.25]。

超额比例下注比低于标准下注伤害性更大。比如，只用凯利法则一般的比例下注会将回报率减少25%，而赌注加倍则会将盈利全部抹掉。不考虑单次的胜算，如果下的赌注比一倍还多，那将会导致负收益。

凯利法则并没有假设最小赌注的大小。这个假设防止了全部损失的可能性。如果像在多数实际投资和交易中有最小交易单位的限制，如果这个比例低于最小交易单位，那么这种彻底损失是可能的。

我是在克劳德·香农回到麻省理工学院的时候，从他那里了解到凯利法则的。香农曾与凯利在贝尔实验室工作。我猜香农是贝尔实验室的首席科学家，而凯利则可能是第二位。1956年凯利写了一篇论文，香农建议我参考一下。当我告诉香农21点赌博系统时，他告诉我在决定如何下注时去看看凯利的论文，因为相较于不利情况，你会想要在有利情况下下注更多。我读了凯利的论文，它给了我很大启发。

凯利法则关于用多少比例的资金来下注看起来最好是一个长期策略。当我提到长期，在拉斯维加斯玩一个星期的21点可能听起来并不长。事实上，长期指的是下注的次数，而我可以在一个星期下注数千次。我在赌场将极速地满足长期的要求，而在股票市场就不是这么回事了。在股票市场里，一年的交易也不是长期的标准，但也有一些情况使你可以很快达到长期。比如，统计套利。在统计套利里，你可以在一年里进行成千上万次的交易。凯利法则用来确定在长期可以实现最大期望增长率的赌注大小。如果你能计算每次交易或下注的胜率和平均输赢的比例，那么凯利法则会给你最优的下注比例来实现你的长期增长率最大化。

凯利法则将会给你一个长期增长的趋势。随着赌注次数的增加，偏离趋势的百分比将下降。这就像大数定律。如果你掷10次硬币，偏离期望值5的偏差理论上说很小，因为它不会比5大，但是从百分比来看，这个偏差非常大。如果你掷100万次硬币，偏离的绝对值会更加大，但从相对值百分比来看，会非常小。凯利法则也一样，从百分比的角度来说，结果往往会收敛于长期增长趋势。如果你用其他法则来决定赌注的大小，长期增长率会比凯利法则得到的小得多。因为我想要最高的长期增长率，所以在赌场下注时，我选择了凯利法则。不过有更安全的途径可以将损失降至更低概率。

我的理解是如果你了解自己的优势，并且能精确定义，当然这在市场上是不现实的，那么凯利法则就会给你一个确定金额去下注以实现最大化回报率，而下注过多或过少都会导致回报率下降。但我不理解的是，凯利法则似乎把所有权重都给了回报。凯利法则唯一反映波动率的方式就是通过其对回报率的影响，事实是人们难以忍受高的波动率。你的止损点并不是凯利法则所假设的零，而是你可承受的最大损失。看起来，这个比例应该是在满足最小化风险（即达到回撤点）的约束下来实现最大化增长率。

假设你有100万美元的资金，你可忍受的最大损失是20万美元。那么从凯利法则的角度，你并没有100万美元的本金，你只有20万美元。

所以，在你的例子中，你仍旧利用凯利法则，但是你的本金是20万美元。当你玩21点时，你也直接使用凯利法则吗？

是的，假设我确信专家不会作弊，因为我的目标是在最短的时间内赚最多的钱。

在你管理基金的时候呢？

当我管理基金时，我不是一定要按照凯利法则来做决定。如果你利用套期保值来进行理论上的风险对冲，那么凯利法则很可能会包含使用杠杆。在普林斯顿-纽波特合伙公司的基金里，所有头寸都被进行了套保，我发现我不能完全按照凯利法则的理论加大组合的杠杆比率。

因为经纪公司不会给我这么大的借贷能力。

这是否意味着，如果凯利法则在实际中是可行的，你就已经用其交易了呢？

我可能不会，因为如果用凯利法则比例的一半下赌注，与完全按照凯利法则相比，波动率下降了一半，回报率下降了25%，这样的交易更加使人安心。我相信只用凯利法则比例的一半下赌注，心理上会更好受。

我认为有更加核心的原因来解释，在交易时所下的赌注低于凯利比例始终是理性的决定。交易和像21点这样的博彩之间有重要的区别。在21点中，理论上我们可以知道精确的概率，但是在交易中赢的概率往往是一个估计，而相对于下注低于凯利比例赚的钱，按相等数量超过其比例损失的钱更多。考虑到交易中赢钱概率的不确定性以及凯利法则中回报固有的不对称性，即使你能控制波动率，看起来理性的选择仍旧是一直保持低于凯利比例下注。此外，还有一个理由，实际上对于任何投资者来说，一单位额外收益的边际效用都比一单位额外损失的边际效用小得多。

你说的没错。假如我去赌场玩21点，我知道投注的赔率是多少，我会完全按照凯利比例下注吗？可能不会。为什么？因为有时庄家会耍诈，因为一些超出我的计算范围的事情可能会发生，所以实际赢率可能和我计算的有所不同。如今我转向了华尔街，我们不可能从一开始就计算出确切的概率。另外，有一些超出我所知道的影响概率的事情正在发生。所以你需要缩减赌注到一定范围，否则过度下注真的会让你受到教训，你将得到更低的增长率和更大的变动性。因此，类似于用一半的凯利比例下注就可能是一个谨慎的开始。而后，如果你对概率更加确定，你可以增加下注比例，反之亦然。

实际上，你最终将比例下降到凯利法则的一半了吗？

我从没有被迫做出这项决定。因为有非常多的交易机会，以至于我通常不会在任意一次交易中投入高于合理比例的资金。但偶尔也会有例外，我会很难继续下去，一个很好的例子是AT&T和BabyBells。旧的AT&T股票将要换成新股和七个BabyBells的地方公司。你可以做多AT&T的旧股票，在新股发行时做空AT&T的新股票，将价差锁定在0.75%左右。

你的那次交易资金投入有多大？

500万股大约有3.3亿美元。这是当时纽约证券交易所完成的最大一笔交易。

你那时的资本金是多少？

大约7000万美元。

你如何决定交易规模？

我们所拥有的全部。

我猜想你是因为这是一个众所周知的无风险交易，所以你的交易规模才会这么大。

虽然看起来是这样，但需要明确的是，没有真正的零风险交易。

你可以阐述一下吗？

有一些极小的可能是我们忽略了一些事情，也总有一些可能是某些未知的因素。

你第一次是如何接触到统计套利的？