城市的多样化和多维度为它带来了一系列定位，如：步行城市、技术城市、绿色城市、生态城市、园林城市、后工业化城市、可持续性城市、具有韧性的城市……当然，还有智慧城市。这个清单还可以被继续拉长。每一个定位都反映出城市的一个重要特点，但它们都没有抓住莎士比亚所说的“城市即人”的核心特点。关于城市的大多数画面和比喻都会表现出它的物理足迹，却似乎忽视了社会互动所扮演的核心角色。而另外一种完全不同的定位则抓住了这一重要组成部分，如把城市比作坩埚、熔炉、搅拌碗或反应堆，社会互动催化了社会活动和经济活动，即出现了人民城市、集体城市、人类城市。

城市作为一座熔炉，人们在其中持续地搅动、混合，我们在世界上任何一座大城市中都能感受到这种现象。尤其在市中心和商业区的人流移动中这种感受会更明显，人流似乎是在随机移动，就像是气体或液体中的分子。正如气体或液体的综合特性，如源自分子的碰撞和化学反应所产生的温度、压力、颜色、气味等，城市的特性也源自社会交流和人与人之间的化学反应。

这种比喻很有用，但有时也会有误导性。城市中的人流移动并不像是分子在气体中或者粒子在反应堆中随意移动的那样。相反，人流的移动是系统性的、有方向的，很少有随意的移动。无论运输工具是什么，几乎所有的人流移动都是从一个具体地点到另一个具体地点的有目的旅行，大多数是从家到工作地点、商店、学校或剧院，然后相互往返。此外，大多数人都寻找最快、最短的路径，寻找花费最少时间、横穿距离最短的路径。最理想的状况是，每个人都沿着直线移动，但鉴于城市显而易见的物理限制，这是不可能的。人们没有别的选择，只能沿着蜿蜒的道路和铁路线移动。因此，大体说来，每段行程都包括沿着蜿蜒曲折的路线前行。然而，如果通过粗粒度的滤镜去观察，将所有人在较长时间段内的所有行程平均计算，两个具体地点之间的优选路径近似于一条直线。笼统地说，这意味着平均而言，人们沿着一个圈的轮辐呈放射状地移动，这个圈的中心便是他们的特殊目的地，具有核心作用。

根据这一假设，我们有可能会从城市中人们的行动得出十分简单但强有力的数学结论。这里考虑的是城市中的任意地点：可能是中心地带，如市中心区域或街道；可能是一座商场或一处购物区；同样也可能是某一任意居住区，如你住的地方。数学定律能够预测出有多少人会从任意距离以外的地方来到这一地点，访问的频率如何。更具体地说，访问者的数量应该与访问距离和访问频次呈平方反比关系。

从数学上来讲，平方反比定律只不过是我们在本书中所谈论的幂律规模法则的简单版本之一。按照这一预测，城市运动的预期应该被重新阐述：旅行到一个具体地点的人群数量与旅行距离和旅行频次呈幂律规模法则关系，其指数为–2。因此，如果将旅行人群数量与旅行频次固定前提下的旅行距离用对数绘制在图中，或者相反，与旅行距离固定前提下的旅行频次用对数绘制在图中，其结果应该是一条直线，斜率均为–2（负数斜率意味着直线向下倾斜）。我应该强调，在所有规模法则中，应该假定平均的时限，如6个月或一年，以减少日常行程或工作日与休息日之间的差别。

从中我们可以发现，这些预测都被数据所证实。的确，观察到的比例缩放都很紧凑，斜率基本上都是所预测的–2。尤其令人感到满意的是，全球不同城市的数据都呈平方反比关系，尽管这些城市的文化、地理特征和发展程度都不尽相同。我们在北美（波士顿）、亚洲（新加坡）、欧洲（里斯本）和非洲（多哈）都看到了相同的行为。此外，当这些都市区被解构为特定的地点时，城市中的每个特定地点都呈平方反比关系，正如和给出的波士顿和新加坡的采样地点所显示的那样。yipindushu.com

让我通过一个简单的例子来说明平方反比定律是如何运行的。假设平均有1 600人每月一次从4千米远的地方到访波士顿公园街周边地区。那么，会有多少人从两倍远的距离（8千米）以相同的频次，即每月一次到访公园街呢？平方反比定律告诉我们，会有1/4（1/22 ）的人到访该地。因此，只有400人（1/4×1 600）从8千米远的地方每月一次到访公园街。那么，从5倍远，即20千米的距离呢？答案是1/25（1/52 ）的人，即只有64人（1/25×1 600）每月到访公园街一次。明白了吧！但此外，你可以继续发问，如果改变到访频次会发生什么呢？例如，假设我们发问，有多少人会从4千米以外的地方到访公园街，但频次变为每月两次？这同样也遵守平方反比定律，因此人数为1/4（1/22 ）的人，即400人。如果你发问有多少人会从4千米以外的地方到访公园街，但频次变为每月5次？答案将是64人（1/25×1 600）。

请注意，这一数值等于从5倍远的距离每月一次到访公园街的人数。因此，从4千米远的地方每月5次到访公园街的人数与从5倍远的地方每月一次到访公园街的人数相等（均为64人），这一结果并不会因为旅行人数的不同而发生变化。它是移动性普遍对称的一个例子。如果到达某一具体地点的旅行距离乘以旅行频次的结果保持不变，旅行的人数也会保持不变。在我们的例子中，第一种情况是4千米×每月5次= 20，第二种情况是20千米×每月1次= 20。这一恒定性适用于从任意距离、以任意频次到达城市任意地点。这些预测都得到了数据上的证实，并体现在和中，你可以清楚地看到，当距离乘以频次的结果保持不变时，旅行的模式并没有发生改变。

我想要强调的是，鉴于城市中的运动和交通方式极为复杂和多样化，这一预测还是很出人意料的。当人们还认为纽约、伦敦、德里或圣保罗的人口移动似乎是混乱无序、十分多样化的时候，我们很难相信如此简单的潜在秩序和规律性。每一个体到一个具体地点或从一个具体地点出发旅行的随机决定都会导致一致的集体行动，无论他们是步行、乘坐地铁、乘坐公交车、开私家车或是采用以上所有形式的旅行方式，这就像是你打开厨房的水龙头时，数万亿个个体水分子的随机移动最终将形成平缓、一致的水流一样。

正如我在以上内容中所阐释的那样，手机数据提供了详细的信息，不仅是关于你给谁拨打电话，通话多长时间，而且还包括你在何时、何地拨打电话的信息。事实上，我们每个人都随身携带一部设备，随时跟踪我们的位置。这看上去就像是我们能够为房间内的每一个分子贴上标签，知道它们的所在位置、它们的移动速度以及它们会和谁相撞等信息一样。由于在一个中等面积的房间内有超过1028 个分子，这可能代表着所有大数据之母。然而，这一信息其实并没有太大的用处，尤其对平静状态下的气体而言——它具有极大的杀伤力。统计物理学和热力学的强大技巧被发展用于理解和描述气体的宏观特性，如它们的温度、压强、相变等，而我们无须知道它们所有构成分子运动的详细细节。此外，在城市中，这些信息极具价值，不仅因为我们本身便是分子，还因为城市与气体不同，是复杂适应系统，有着错综复杂的、用于交换能量和信息的网络结构。手机数据为我们提供了强大的工具，来定这些网络的结构和动力学，并由此对理论预测进行量化测试。

注：f代1表03到访次数

中（a）表示从不同距离旅行到波士顿一个特定地点的人数和他们到访的频次虽然都不同，但结果都符合平方反比定律。（b）与（a）的数据相同，但显示出，所有不同的频次和距离最终都在按照频次×距离的单一变量对数绘制后成为一条直线。（c）绘制的方法与（b）相似，这表明全球各地不同城市的旅行者都遵从相同的平方反比定律。是绘制的方式类似于（c）。是新加坡的数据，实线是从该理论中得出的预测。

这可能会成为城市规划的强有力工具，因为它提供了一个框架，用于预测从城市的一个特定地点出发以及前往该地点的人数。建设一座新的购物中心或者开发一个全新的住房项目需要精确、至少是可信的交通流量和人口流动的预测数据，以确保满足充足的、高效的交通需求。许多工作都利用计算机模型得以完成，这当然很有用，但模拟行为似乎都以某一区域为重点，忽视了与更加庞大的、更为一体化的城市系统动力学的关系，也很少以基本原理为基础。

麻省理工学院的卡罗•拉蒂聘请了两位年轻的、很有前途的博士后——瑞士工程师马库斯•拉普霍夫（Markus Schläpfer）和匈牙利物理学家迈克尔•塞尔（Michael Szell），他们对这些用于检验理论的庞大手机通话数据库进行了很好的分析。马库斯后来于2013年加入了圣塔菲研究所，我们开始进行合作。在他所从事的诸多项目中，其中一个非常有趣的是与路易斯•贝当古的合作，他们分析了建筑物的高度和容积与城市规模的关系。马库斯此后转到位于他家乡的苏黎世联邦理工学院，开始参与一个大型合作项目——未来城市实验室，该项目的基地是在新加坡，并得到了新加坡政府的支持。